Question

已知长方形的长和表面积求体积，已知长方形的长和表面积求体积

Answer 1

已知长方形的长和表面积求体积：

设长方形的长为 $l$，宽为 $w$，高为 $h$，则长方形的表面积是：

$$2lw + 2lh + 2wh = 2(lw + lh + wh)$$

又因为长方形的面积为 $lw$，所以可以列出一个方程：

$$lw=2(lw+lh+wh)$$

化简得到：

$$lw=2l(w+h) + 2wh$$

移项得到：

$$h = \frac{lw}{2l + 2w}$$

因为长方形的体积为 $V=lwh$，所以可以代入已知条件，得到：

$$V = lwh = l \cdot w \cdot \frac{lw}{2l+2w} = \frac{l^2w^2}{2l+2w}$$

因此，已知长方形的长和表面积，可以用上面的公式求得长方形的体积。

已知长方形的长和体积求表面积：

类似地，设长方形的长为 $l$，宽为 $w$，高为 $h$，则长方形的体积是：

$$V = lwh$$

又因为长方形的长为 $l$，所以可以列出另一个方程：

$$lwh = lw^2$$

移项得到：

$$h = \frac{lw}{w^2} = \frac{l}{w}$$

因为长方形的表面积为 $S=2lw+2lh+2wh$，所以可以代入已知条件，得到：

$$S = 2lw + 2lh + 2wh = 2lw + 2l\cdot \frac{l}{w} + 2w\cdot \frac{l}{w} = 2l^2 \cdot \frac{1}{w} + 2lw$$

因此，已知长方形的长和体积，可以用上面的公式求得长方形的表面积。