Question

高三数学函数题

设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M，使 |f(x)| ≤ M |x| 对一切实数x均成立，则称f(x)为“有界泛函”，下列函数哪个是“有界泛函”函数？：
①f(x)=x²
②f(x)=2ˆx
③f(x)= x sinx
④f(x)= x﹨(x²+x+1)

请帮下忙，并解释一下，谢谢！

Answer 1

答案只有④
(注意, 楼上说的③, 是不对的)

首先①, ②不是有界泛界函数
前著是幂函数, 后者是指数函数,
它们都不能找到一个值M使得|f(x)| ≤ M, 对一切实数x均成立.

③|f(x)| = |xsinx|
≤ |x|
但x的值是变动的, 所以也不是有界泛界函数.

④f(x) = x / (x² + x +1)
= 1 / (x + 1 + 1/x)
= 1 / (x + 1/x + 1)
(1) 当 x > 0, 因为 x + 1/x + 1 ≥ 2√(x * 1/x) + 1 = 3
所以 1/ (x + 1/x + 1) ≤ 1/3
即 f(x) ≤ 1/3

(2) 当 x < 0, 因为 x + 1/x + 1 ≤ -2√(x * 1/x) + 1 = -1
所以 1/ (x + 1/x + 1) ≥ -1
即 f(x) ≥ -1
且 f(x) = x / (x² + x + 1)
= x / [(x + 1/2)² + 3/4]
< 0
(3) 当 x = 0, f(x) = 0

所以|f(x)| ≤ M, 对一切实数x均成立, 其中M ≥ 1.

Answer 2

①因为f(x)恒≥0，所以，不存在M符合条件，故不是。
②因为f(x)恒＞0，无最大值，故也不是
③取一个定义域（-π，π）对函数求导，可以求出其最大值是3√2π/8，故存在M，故是有界泛函函数
④f(x)=1/(x+1+1/x)，因为(x+1/x)是≥2或≤-2的，所以函数范围是（0,1/3】并上【-1,0），所以函数最大值是1/3，所以存在M，故是有界泛函函数。
补充：我认为，M值与X无关，不是随X的改变而改变，M是一个常数！所以不可以用f（x)≤|x|来算。只是本人看法。

Answer 3

只有3是有界函数