Question

高二数学圆锥曲线问题

已知a大于0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y=2px（p大于0）于P，Q两点，若1/MP²+1/MQ²为定值，则a=
A.p

B.2p

C.根号2乘以p

D.p/2

我看过一个用参数方程的答案。看不懂。那里设直线PQ的t参数方程为x=a+tcosα,y=tsinα。为什么要这么设？如果也是回答用参数方程的，能回答的详细点吗？用其他通俗的方法也行，只要详细就好。

Answer 1

设直线PQ的t参数方程为x=a+tcosα，y=tsinα，
（α为直线PQ的倾斜角，t为直线上的点到点M的距离。
这么设是为了减少后面的运算量，
这是解决这类问题最简单的方法，最好能掌握）
P，Q的坐标分别为：(a+t1cosα，t1sinα)，(a+t2cosα，t2sinα)，
MP^2=t1^2*(cosa)^2+t1^2*(sina)^2=t1^2，
MQ^2=t2^2*(cosa)^2+t2^2*(sina)^2=t2^2。
又P，Q在抛物线：y^2=2px，
将x=a+tcosα，y=tsinα代入y^2=2px，得：
(tsina)^2=2p*(a+tcosa)，
(sina)^2*t^2-2pcosa*t-2pa=0，所以
t1+t2=2pcosa/(sina)^2， t1t2=-2pa/(sina)^2，
t1^2+t2^2=(t1+t2)^2-2t1t2=4[p^2*(cosa)^2+pa*(sina)^2]/(sina)^4，
又 1/MP^2+1/MQ^2=1/t1^2+1/t2^2=(t1^2+t2^2)/(t1t2)^2
=[p^2*(cosa)^2+pa*(sina)^2]/(pa)^2=[p*(cosa)^2+a*(sina)^2]/p*a^2，
为定值，
所以 p=a。

Answer 2

极坐标即你所说的参数方程，就是为了简化圆锥曲线的步骤而引用的。求离心率和定点首选极坐标，次选平面几何，三选定义。我给你用几何方法做。
设P（x1,y1）Q(x2,y2),直线方程x=my+a..有事一会做。

Answer 3

当弦PQ不垂直X轴时，设PQ方程为y=k(x-p),代入y^2=2px
得k^2(x-p)^2=2px,整理得k^2x^2-2p(1+k^2)x+p^2k^2=0
设根为x1,x2,则(x1-p)^2=2px1/k^2,(x2-p)^2=2px2/k^2
且x1+x2=2p(1+k^2)/k^2,x1x2=p^2
则P(x1,y1),Q(x2,y2)
则MP^2=(根号(1+k^2))*(x1-p)^2
MQ^2=(根号(1+k^2))*(x2-p)^2
则1/MP^2+1/MQ^2,(代入(x1-p)^2=2px1/k^2,(x2-p)^2=2px2/k^2)
=k^2/(2p(1+k^2))*(x1+x2)/(x1x2)=1/p^2
当PQ垂直X轴时，则P(p,p根号2),Q(p,-p根号2)
MP^2=2P^2,MQ^2=2P^2则1/MP^2+1/MQ^2=1/P^2

祝你学习愉快