Question

圆锥参数方程 圆锥曲线参数方程题目

Answer 1

圆锥曲线的参数方程

1、椭圆的参数方程

x =a cos ϕx 2y 2

由例42+2=1(a >b >0) 的一个参数方程为{(ϕ为参数)

y =b sin ϕa b 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

思考：

类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数方程中参数ϕ的意义是什么？

（1）如下图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆

半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程

.

设以ox 为始边，OA 为终边的角ϕ，点M 的坐标是(x , y ) ，那么点A 的横坐标为x , 点B 的纵坐标为y ，由点A , B 均在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有

x =cos ϕ=a cos ϕy =OB sin ϕ=b sin ϕ

当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是{

x =a cos ϕ

(ϕ为参数)

y =b sin ϕ

这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆。

在椭圆的参数方程中，通常规定参数ϕ的范围是ϕ∈[0, 2π)

⎧x =b cos ϕ, ⎧x =a cos ϕ,

焦点在Y 轴⎨焦点在X 轴⎨

⎩y =a sin ϕ.

⎩y =b sin ϕ.

练习1:把下列普通方程化为参数方程.

极坐标与参数方程

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

例1. 在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=-4sin θ．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ-M,N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点。

（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M,N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程； （3）把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （4）求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程；

二、参数方程的问题

例2. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎨

π

3

) =1，

⎧x =3cos α⎩y =sin α

(α为参数) ，以原点O 为极

点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

) =42.

（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；

（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标. （3）若点Q (x , y ) 为曲线C 1上的动点，求x +y 的最大值和最小值.

跟踪训练2：已知直线l 的参数方程为：⎨

⎧x =-2+t cos α

(t 为参数) ，以坐标原点为极点，

⎩y =t sin α

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ.

（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）当α=

巩固练习：1. 在平面直角坐标系xoy 中，若

π

4

时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标.

⎧x =t , ⎧x =3cos ϕ, l :⎨(t为参数) 过椭圆C :⎨⎩y =t -a ⎩y =2sin ϕ(ϕ为参数) 的右顶点，则常数

a 的值为⎧x =cos α

xoy C 2. 在直角坐标系中，曲线1的参数方程为⎨，（α为参数）. 在极坐标系

y =1+sin α⎩

（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为ρ

(cos θ-sin θ)+1=0，则C 1与C 2的交点个数为

圆锥曲线极坐标及参数方程练习题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的． 1．曲线⎨

⎧x =-2+5t

． (t 为参数) 与坐标轴的交点是（ ）

y =1-2t ⎩

25

12

15

12

59

(,0) B ．(0,) (,0) C ．(0,-4) 、(8,0) (8,0) D ．(0,) 、A ．(0,) 2．把方程xy =1化为以t 参数的参数方程是（ ）．

1

⎧⎧x =sin t ⎧x =cos t ⎧x =tan t ⎪x =t 2⎪⎪⎪A ．⎨ B ． C ． D ．111 ⎨⎨⎨1

-y =y =y =⎪y =t 2⎪⎪⎪sin t cos t tan t ⎩⎩⎩⎩

3．若直线的参数方程为⎨

A ．

⎧x =1+2t

． (t 为参数) ，则直线的斜率为（ ）

⎩y =2-3t

2233 B ．- C ． D ．- 3322

4．点(1,2)在圆⎨

⎧x =-1+8cos θ

的（ ）．

⎩y =8sin θ

B ．外部

C ．圆上 D ．与θ的值有关

A ．内部

1⎧

⎪x =t +

5．参数方程为⎨． t (t 为参数) 表示的曲线是（ ）

⎪⎩y =2

A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆⎨

⎧x =-3+2cos θ⎧x =3cos θ

与⎨的位置关系是（ ）．

⎩y =4+2sin θ⎩y =3sin θ

C ．相离 D ．内含

A ．内切 B ．外切 7

．与参数方程为⎨

⎧⎪x =⎪⎩y =t 为参数) 等价的普通方程为（ ）．

y 2y 22

=1 B ．x +=1(0≤x ≤1) A ．x +44

2

y 2y 22=1(0≤y ≤2) D ．x +=1(0≤x ≤1,0≤y ≤2) C ．x +44

2

8．曲线⎨

⎧x =5cos θπ

． (≤θ≤π) 的长度是（ ）

⎩y =5sin θ3

A ．5π B ．10π C ．5π10π D ． 33

9．点P (x , y ) 是椭圆2x 2+3y 2=12上的一个动点，则x +2y 的最大值为（ ）．

A

． B

． C

D

1⎧x =1+t ⎪2⎪10

．直线⎨(t 为参数) 和圆x 2+y 2=16交于A , B 两点，

⎪y =-⎪⎩2

则AB 的中点坐标为（ ）．

A ．(3,-3) B

．( C

．-3) D

．(3,

⎧x =4t 2

11．若点P (3,m ) 在以点F 为焦点的抛物线⎨． (t 为参数) 上，则|PF |等于（ ）

⎩y =4t

A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

⎧x =-2+t 12．直线⎨． (t 为参数) 被圆(x -3) 2+(y +1) 2=25所截得的弦长为（ ）y =1-t ⎩

A

B ．401 C

D

4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

t -t ⎧⎪x =e +e (t 为参数) 的普通方程为__________________． 13．参数方程⎨t -t ⎪⎩y =2(e -e )

⎧⎪x =-2(t 为参数) 上与点A (-

2,3) _______． 14

．直线⎨⎪⎩y =315．直线⎨⎧x =t cos θ⎧x =4+2cos α与圆⎨相切，则θ=_______________． y =t sin θy =2sin α⎩⎩

2216．设y =tx (t 为参数) ，则圆x +y -4y =0的参数方程为____________________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

⎧⎪x =1+t (t 为参数

) 和直线l 2:x -y -=0的交点P 的坐标，及点P 求直线l 1:⎨⎪⎩y =-5+与Q (1,-5) 的距离．

18．（本小题满分12分）

过点P 作倾斜角为α的直线与曲线x 2+12y 2=1交于点M , N ， 2

求|PM |⋅|PN |的值及相应的α的值．

19．（本小题满分12分）

已知∆ABC 中，A (-2,0), B (0,2),C (cosθ, -1+sin θ) (θ为变数) ，

求∆ABC 面积的最大值．

20．（本小题满分12分）已知直线l 经过点P (1,1), 倾斜角α=

（1）写出直线l 的参数方程．

（2）设l 与圆x +y =4相交与两点A , B ，求点P 到A , B 两点的距离之积．

22π6，

21．（本小题满分12分） 1t ⎧-t x =(e +e ) cos θ⎪⎪2分别在下列两种情况下，把参数方程⎨化为普通方程： 1⎪y =(e t -e -t )sin θ⎪⎩2

（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数．

22．（本小题满分12分）

已知直线l 过定点P (-3, -) 与圆C ：⎨3

2⎧x =5cos θ(θ为参数) 相交于A 、B 两点．

⎩y =5sin θ

求：（1）若|AB |=8，求直线l 的方程；

（2）若点P (-3, -) 为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．

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