Question

高中函数题？

Answer 1

1.
x>0, a=4, f(x)=x+3+4/x>=2√[x*(4/x)]+3=7
当且仅当 x=4/x 即 x=2 时[f(x)]min=7
2.
x>=2, a>0, f(x)=x+3+a/x>=2√[x*(a/x)]+3=3+2√a
x=a/x, x=√a>=2, a>=4
所以若 a>=4 时，当且仅当 x= √a 时[f(x)]min=3+2√a
若 0<a<4, f(x)=x+3+a/x 在 [2, +∞) 是严格递增函数，
当且仅当 x= 2 时[f(x)]min=f(2)=5+a/2.
附： 若 0<a<4, f(x)=x+3+a/x 在 [2, +∞) 是严格递增函数，简单证明如下：
设 x1>x2>=2
f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)
=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1*x2)
=(x1-x2)(x1*x2-a)/(x1*x2)
由 x1>x2>=2，(x1-x2)>0, x1*x2>4=a, x1*x2-a>0

∴ f(x1)-f(x2)>=0, f(x)=x+3+a/x 在 [2, +∞) 严格递增.