Question

一元三次方程的解有哪些特殊形式？

Answer 1

一元三次方程的一般形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为实数且a≠0。

一元三次方程的解有以下几种特殊形式：

1. 有理根：如果方程存在有理根r，即r是方程的一个解，并且r可以表示为两个整数的比，那么r称为有理根。有理根可以通过有理根定理来判断和求解。

2. 重根：如果方程有一个或多个重根，即方程的一个或多个解重复出现，那么这些解称为重根。

3. 无理根：如果方程的解不能表示为两个整数的比，那么这些解称为无理根。

4. 复数根：如果方程的解为复数，那么这些解称为复数根。一元三次方程的复数根总是成对出现，即如果a+bi是方程的一个复数根，则a-bi也是方程的一个复数根。

需要注意的是，一元三次方程不一定有特殊形式的解，有时候可能需要使用数值方法或近似方法来求解。

Answer 2

一元三次方程定理为：x1x2x3=-d/a

以下为证明：

ax^3+bx^2+cx+d

=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

=a[x^3-(x1+x2+x3)x^2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3]对比系数得

-a(x1+x2+x3)=b

a(x1x2+x2x3+x1x3)=c

a(-x1x2x3)=d

即得

x1+x2+x3=-b/a

x1x2+x2x3+x1x3=c/a

x1x2x3=-d/a

扩展资料

定理意义

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为  （a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项），韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系；无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理；判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

参考资料来源：百度百科-韦达定理