Question

怎样把有理式化成部分分式形式？

Answer 1

部分分式是一种特殊形式的分式，经过有理式的恒等变形，任何有理式总能化为某个既约分式。如果这个既约分式是只含有一个自变数的真分式，还可进一步化为若干个既约真分式之和。这几个分式便称为原来那个既约分式的部分分式。

部分分式分解或部分分式展开，是将有理函数分解成许多次数较低有理函数和的形式，来降低分子或分母多项式的次数。分解后的分式需满足以下条件：

分式的分母需为不可约多项式（irreducible polynomial）或其乘幂。

分式的分子多项式次数需比其分母多项式次数要低。

由拉格朗日插值公式可推出化有理真分式为部分分式的一般方法。

　　
特别，当f(x)=1时，公式(L)成为

f(x)=x^2+x-3，

x0=1，x1=2，x2=3，

f(x0)=-1，f(x1)=3，f(x2)=9，

公式(L)给出了将一个有理真分式化为部分分式之和的一般方法。但乘积公式(L)便失去它的实用意义了。对于具有某些特征的有理分式，根据下述原理可以归纳出一些化部分分式的实用方法。

定理1 两个真分式的和或差仍为真分式，或为零。

是真分式B(x)的次数，所以A(x)D(x)的次数低于B(x)D(x)的次数。又因为C(x)的次数低于D(x)的次数，所以B(x)C(x)的次数低于B(x)D(x)的次数，从而，A(x)D(x)±B(x)C(x)的次数低于B(x)D(x)的次数。