Question

二元函数的连续性是什么

Answer 1

二元函数的连续性是指在定义域内二元函数的各个点上，函数值与点的极限存在并相等的性质。

换句话说，如果二元函数在某一点处连续，那么该点的邻近点都可以通过取极限得到与该点相等的函数值。

对于二元函数来说，连续性的定义有以下几个方面：

1、函数定义域的连续性：首先，二元函数的定义域必须是一个连续的区域，即定义域内任意两个点之间都存在着一条连续的曲线或者直线。例如，在平面直角坐标系中，定义域是一个区域内的所有点构成的集合，这个区域应当是一个连续的曲线所围成的。

2、极限的存在性：在二元函数中，如果定义域内某个点的所有邻近点都能够使函数值趋近于同一个数，那么该点的极限就存在。这意味着函数在该点处连续。

3、极限的唯一性：即使函数在某一点处极限存在，但如果存在不同的函数值使极限存在，那么该函数在该点处就不连续。换句话说，只有一个唯一的函数值可以使极限存在，才能满足连续性。

4、极限与函数值的相等：如果二元函数在某一点处连续，那么该点的函数值就应该与极限相等。也就是说，通过取极限可以得到该点处的函数值。

总之，二元函数的连续性要求函数在定义域内的任意点都满足函数值与点的极限存在并相等的条件。只有满足这些条件，二元函数才能称为是连续的。

资料扩展：

二元函数（function of two variables）与一元函数的情形相仿，记号f与f（x，y）的意义是有区别的，但习惯上常用记号“f（x，y），（x，y）∈D”或“z=f（x，y），（x，y）∈D”来表示D上的二元函数f.表示二元函数的记号f也是可以任意选取的.例如也可以记为z=φ（x，y），z=z（x，y）等。