已知x^4*√(1+ x^2)的积分怎么求
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1/[x^4 × √(1+x²)] dx
设x = tany
则:dx = sec²y dy
√(1+x²) = secy
原式=∫ [sec²y / (tan^4y ×secy)] dy
= ∫[ (secy × cos^4y) / sin^4y] dy
= ∫ (cscy × cot³y )dy
= ∫ [cscy × coty ×(csc²y - 1)] dy
= -∫ (csc²y - 1) dcscy
= cscy - (csc³y / 3 )+ C
= [(2x²-1)√(1+x²)] / (3x³) + C
解释
根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
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