Question

已知x^4*√(1+ x^2)的积分怎么求

Answer 1

1/[x^4 × √(1+x²)] dx

设x = tany 

则：dx = sec²y dy

√(1+x²) = secy

原式=∫ [sec²y / (tan^4y ×secy)] dy

= ∫[ (secy × cos^4y) / sin^4y] dy

= ∫ (cscy × cot³y )dy

= ∫ [cscy × coty ×(csc²y - 1)] dy

= -∫ (csc²y - 1) dcscy

= cscy - (csc³y / 3 )+ C

= [(2x²-1)√(1+x²)] / (3x³) + C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。