Question

设f（x）是定义在R上的函数，对mn（属于R）恒有f(m+n)=f(m).f(n)且当x＞0时，0＜f(x)＜1，f（0）≠0

1.求证f（0）=1
2.证明x属于R时有f(X)＞0，
3.求证f（x）在R上是减函数
4.若f（X）.f(2x-x2）＞1，求X取值范围

Answer 1

第一问：可令m=x>0，n=0，因为f(m+n)=f(m)*f(n)，代入有f(x)=f(0)*f(x)，所以f(0)=1或f(x)=0，又因为当x>0时,0<f(x)<1，故f(x)不等于0，所以f(0)=1。

第二问：当x>=0时，0<f(x)<=1。当x<0时，令m=n=x，由f(m+n)=f(m)*f(n)，所以f(2x)=f(x)*f(x)>0，故对于任意的x<0，f(x)>0。所以当x∈R，恒有f(x)>0。

第三问：在-∞<x<+∞上，分为二部分讨论。当0<x<+∞时，由f(0)=1，
0<f(x)<1,有f(0)>f(x)，所以x>=0时，f(x)单调递减。当-∞<x<0时，设-∞<x1<x2<0，则f(x1+c)=f(x1)*f(c)，f(x2+c)=f(x2)*f(c)，其中c>0，因为
0<f(c)<1，显然有f(x1)=f(x1+c)/f(c)>f(x2)=f(x2+c)/f(c)，故f(x)在此区间上单调减。由上面可知，f(x)在R上单调减。