Question

已知函数y=a^x（a>1)的定义域和值域均为[m,n]，那么a的范围是？

答案是(1,e^1/e)可是我就是不会解啊啊。。求大神解答~~~在线等速给分~~~

Answer 1

解：函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n]，而函数f(x)=a^x(a>1)是单调的，因此，f(m)=m，f(n)=n.因此f(x)=x即a^x=x必须至少有一解，两边取对数分离参数得：lna=(lnx)/x，上述问题即，直线y=lna与函数y=(lnx)/x需至少有一个交点，已知a>1,而函数y=(lnx)/x的值域为（-∞，1/e]（这个问题如果你不会，我们可以看常见函数y=(lnx)/x的版块研究：求导：得y’=(1-lnx)/x^2,至此很容易得到，函数在（0，e）上单调递增，在（e,+∞)上单调递减，，因此函数在x=e处取得最大值1/e.)，因此0<lna<=1/e（★：这里你最好自己能把函数
y=(lnx)/x的大致图象画出来看看就知道了），所以:1<a<=e^(1/e)，
所以，函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n],则a的取值范围为：
（1，e^(1/e)]