Question

高三函数题，谢谢！！

已知函数F(X)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d可以分解成一个奇函数f(x)和一个偶函数g(x)之和，且对任意的x∈[-根号2，根号2]，恒有|F(X)|≤1/2，
(1) 求证：a+c=0
(2)若方程f(x)=(a^2·x+a)/(x^2+1)在x∈[-2，+∞）上恰有三个不同的实数解，求a的取值。
如果计算过于麻烦，说一下思路也可，谢谢！

Answer 1

F(x)=f(x)+g(x) F(-x)=f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)
F(x)+F(-x)=2g(x) 则 g(x)=x^4+bx^2+d f(x)=ax^3+cx

g(根号2)=4+2b+d g(0)=d g(1)=1+b+d
g(根号2)+g(0)-2g(1)=4+2b+d+d-2(1+b+d)=2

1、先说明下，条件"对任意x属于-根号2到根号2（闭区间），恒有F（x）绝对值小于0.5"应为"恒有F（x）绝对值小于等于0.5"

x属于-根号2到根号2(闭区间)时，
\2g(x)\=\F(x)+F(-x)\≤\F(x)\+\F(-x)\≤1 \g(x)\≤0.5
则有 \g(根号2)\≤0.5 \g(0)\≤0.5 \g(1)\≤0.5

由第1问知道 g(根号2)+g(0)-2g(1)=2≤\g(根号2)\+\g(0)\+2\g(1)\≤2
不等式等号成立的条件是 g(根号2)=g(0)=0.5 g(1)=-0.5
因此解出 b=-2,d=0.5

-0.5≤F(1)≤0.5 且 -0.5≤F(-1)≤0.5
-0.5≤1+a+b+c+d≤0.5 且 -0.5≤1-a+b-c+d≤0.5
将b=-2,d=0.5代入上面两个不等得： 0≤a+c≤1 且 -1≤a+c≤0
所以a+c=0

注：此问的关键在于分析第一问与所给条件的关系,2是4倍的0.5，等式左边也刚好是4个数，解法自然出现了。(一般这种题目第一问都是对下面的提示，以后再做这种题目就应该注意了。但不要拘泥于此，下次如果这种方法行不通，应该立刻想别的办法，要保持思维的发散！！)

2、f(x)=a(x^3-x)

a=0时，f(x)=0 原方程为 0＝x/(x^2+1) 只有一个解x=0 不符合条件，舍去

a不等于0时,原方程为：a(x^3-x)＝[a(ax+1)]/(x^2+1)
(x^3-x)(x^2+1)=ax+1 即 x^5-(a+1)x-1=0 令T(x)=x^5-(a+1)x-1
T(X)的导函数为K(x)=5x^4-(a+1)

a=-1时,方程x^5-1=0只有x=1一个解，不符合，舍去

a<-1时,K(x)>0,T(x)在[-2,正无穷)上为增函数，方程T(x)=0最多有一个解，不符合，舍去

a>-1且a不等于0时，由K(x)=0解得X=[(a+1)/5]^(1/4)或X=-[(a+1)/5]^(1/4)

则可知T(x)在[-2,-{(a+1)/5}^(1/4)]上为增函数，
在[-{(a+1)/5}^(1/4)，{(a+1)/5}^(1/4)]上为减函数，
在[{(a+1)/5}^(1/4)，正无穷)上为增函数。

方程T(x)=0的三个解必在T(x)的三个单调区间上
则有:T(-2)≤0,T(-[(a+1)/5]^(1/4))>0,T([(a+1)/5]^(1/4))<0,
由-2<-[(a+1)/5]^(1/4)得a<79
由2(a+1)-33≤0,[(a+1)/5]^(5/4)>1/4,[(a+1)/5]^(5/4)>-1/4
得a≤31/2,[(a+1)/5]^(5/4)>1/4 即 a>-1+5/256^(1/5),
所以a的取值范围是(-1+5/256^(1/5),0)并(0,31/2)