Question

一道数学问题请高手求解

已知直线L：-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>o)相交于A,B两点，线段AB的中点为（2/3,1/3）
（1）求此椭圆的离心率：
（2若椭圆的右焦点关于直线L的对称点在圆x^2+y^2=5上，求此椭圆的方程。

Answer 1

义之力22 ，你好：

解：⑴椭圆x＾2/a＾2＋y＾2/b＾2＝1关于（2/3，1/3）对称的椭圆为：
（4/3－x）＾2/a＾2＋（2/3－y）＾2/b＾2＝1
他们的交点的连线（交点弦）为：〔
（4/3－x）＾2/a＾2＋（2/3－y）＾2/b＾2〕－〔x＾2/a＾2＋y＾2/b＾2〕＝1－1＝0
即（4/3）（4/3－2x）/a^2＋（2/3）（2/3－2y）/b^2＝0
即（2/a^2）x＋（1/b^2）y－（1/3）（4/a^2＋1/b^2）＝0（记为直线M）
由对称性结合交轨法可知这两个椭圆的交点弦应为AB（即l），
即l（x＋y－1＝0）、M为同一条直线
故（2/a^2）/1＝（1/b^2）/1＝－（1/3）（4/a^2＋1/b^2）/（－1）
故b^2/a^2＝1/2
故离心率e^2＝1－b^2/a^2＝1－1/2＝1/2
即e＝（√2）/2

⑵设椭圆的右焦点F（c，0）（c＞0，c^2＝a^2－b^2）
由b^2/a^2＝1/2知
a^2＝2b^2
故c^2＝a^2－b^2＝2b^2－b^2＝b^2
F关于直线y＝－x的对称点（0，－c）
故F关于直线l的对称点N（1，1－c）
N在圆x^2＋y^2＝5上故
1＋（1－c）^2＝5
故c＝－1（舍去）或3
故b^2＝c^2＝9，a^2＝2b^2＝18
故此椭圆的方程：x^2/18＋y^2/9＝1