Question

如下图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，边结CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙

如下图，B为线段AD上一点，△ABC和△BDE都是等边三角形，边结CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M。

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)求证：AC2=CM·CF；

(3)若CM= ，求BD；

(4)若过点D作DG//BE交EF于G，过G作GH//DE交DF于H，则易知△DGH是等边三角形。设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3，试探究S1、S2、S3之间的数量关系。
第3题不用作了

Answer 1

1.连接OB 易证明角OBC=30度
也容易证明AC//BE所以角CBE=角ACB=60度
所以角OBE=90度 所以OB垂直BE 所以BE是⊙O的切线

2.连接AM 角CMA=角CAB（等弧对等角）
所以容易证明三角形CAM相似于三角形CAF
所以利用相似比 就能证明出来了
3∵DG//BE
∴FD:FB=DG:BE
同上
∵DE//BC
∴FD:FB=DE:BC
∵DE=BE
∴DG:BE=DE:BC=BE:BC
∴BE*BE=DG:BC
即a2*a2=a1*a3
由于面积正比于边长的平方，可得：
S2*S2=S1*S3

Answer 2

(1)连接OB
，△ABC和△BDE都是等边三角形
∠OBC=30° ，∠ CBE=60°
∠OBE=90°
BE是⊙O的切线
(2) ∠A=∠CMF=60° ∠CMB= ∠CBF= 120° ∠BCF= ∠BCM
△FCB∽△BCM
CB/CF=CM/CB
CB²=CF.CM
(3)若CM= ，求BD ？