Question

对于R上的可导的任意函数f(x),若满足xf"(x)≥0,则f(-1)+f(1)与2f(0)的大小关系为

Answer 1

楼上的以偏概全。下面给出完整证明方法：
用泰勒公式：
f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)
因而
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2+Rn(x)
f(1)=f(0)+f'(0)+f''(0)/2
f(-1)=f(0)-f'(0)+f''(0)/2
所以：f(-1)+f(1)=2f(0)+f''(0)
xf"(x)≥0 可知，x＞0时，f"(x)≥0 x＜0时，f"(x)≤0 且由题意得f（x）二阶可导。 因而，f''(0)=0
所以f(-1)+f(1)=2f(0)

Answer 2

额，这个可以用特例嘛
xf"(x)≥0，因为f(x)是任意可导函数，所以不妨设f"(x)=x
所以f‘(x)=x^2/2+C1
所以f(x)=x^3/6+C1x+C2
f(-1)+f(1)=-1/6-C1+C2+1/6+C1+C2=2C2
2f(0)=2C2
可见两者是相等关系