Question

可积必连续吗

Answer 1

可积不一定是连续的。

在数学分析中，我们通常认为连续函数是可积函数，但是反过来却不一定成立。也就是说，可积函数不一定连续。

在实数轴上，如果一个函数f(x)在区间[a,b]上有定义，且满足黎曼可积的条件，则称f(x)在[a,b]上是可积的。而连续函数则是指在实数轴上，如果一个函数f(x)在某一点x0的左右极限存在且相等，那么f(x)在x0处连续。

考虑函数f(x)={1,x是有理数；0,x是无理数。}我们可以证明，这个函数在任意区间[a,b]上都是可积的。但是，这个函数在任意点x处都不连续，因为对于任意x0，我们都可以找到一个有理数和一个无理数序列，使得它们都趋近于x0，但是它们的函数值却不相等。

可积函数的定义只与函数在区间上的取值有关，而与函数在某一点的取值无关。因此，一个函数在某一点不连续，并不影响它在其他点的可积性。反过来，一个函数在某一点连续，并不保证它在该点的函数值是可积的。

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制；勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。