Question

高次多项式因式分解技巧

Answer 1

高阶多项式因式分解法:

1.高阶多项式因式分解的一般方法：运用定理。

2.与首末两项等距离的项的系数相等的高阶多项式因式分解法的方法。

高次多项式因式分解的一般方法

定理1：

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一个整系数多项式,如果有理数v/u是它的一个根,其中u与v互素,则u|an,v|a0。特别地,当an=1时,f(x)的有理根都是整数,且为常数项a0的因数。

定理2：

1.若既约分数v/u是整系数多项式f(x)的根,则u-v|f(1),u+v|f(-1)。

2.与首末两项等距离的项的系数相等的高次多项式的因式分解的方法

（1）最高次数是偶次的多项式

（2）最高次数是奇数的多项式

（3）各项系数和等于零的高次多项式

高次方程因式分解方法主要有十字相乘法、待定系数法、余式定理法。

1、十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。

3、余式定理法：若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部分，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。

高次方程不一定能解，通常有两种方法：

1、高次多项式因式分解的一般方法。

2、与首末两项等距离的项的系数相等的高次多项式的因式分解的方法。

一般地，未知数次数最高项次数高于2次的多项式方程均可称为高次方程。把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解方法灵活，技巧性强。

学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。