Question

一道数学题.......

帮忙解一下....

Answer 1

解：
（1）
设P(x0,y0)，F1(-c,0)，F2(c,0).
则由|OP|=√7/2，得x0²+y0²=7/4，
由向量PF1*向量PF2=3/4 得(-c-x0，-y0)*(c-x0，-y0)=3/4,
即x0²+y0²-c²=3/4
所以c=1
又因为c/a=√2/2，所以a²=2，b²=1
故，所求椭圆方程为：x²/2+y²=1

（2）动直线l的方程为：y=kx-1/3，
由直线方程l与上述所求椭圆方程组成方程组，消去y得
(2k²+1)x²-(3k/4)x-16/9=0
设A(x1,y1)，B(x2,y2)
则根据韦达定理
x1+x2=4k/[3(2k²+1)]，x1x2= -16/[9(2k²+1)]
假设在y上存在定点M(0，m)，满足题设，则
向量MA=(x1，y1-m)，向量MB=(x2，y2-m)
向量MA*向量MB
=x1x2+(y1-m)(y2-m)
=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m²
=x1x2+(kx2-1/3)(kx2-1/3)-m(kx1-1/3+kx2-1/3)+m²
=(k²+1)x1x2-k(1/3+m)(x1+x2)+m²+2m/3+1/9
=[18(m²-1)k²+(9m²+6m-15)]/[9(2k²+1)]
由假设得，对于任意的k∈R，向量MA*向量MB=0恒成立，即
m²-1=0且9m²+6m-15=0，联立解得m=1。
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M坐标为（0，1）
这时，点M到AB的距离
d=4/[3√(k²+1)] * |AB|
=√[(k²+1)(x1-x2)²]
S△MAB=1/2*|AB|*d=2/3*√(x1-x2)²=2/3*√[(x1+x2)²-4x1x2]=8/9*√[(9k²+4)/(2k²+1)²]
设2k²+1=t，则 k²=(t-1)/2，
得 t∈[1,+∞)，1/t ∈(0,1]
所以S△MAB=8/9*√[9/2*(1/t)-1/2*(1/t)²]=8/9*√[1/2*(81/4-(1/t-9/2)²)]≤16/9
当且仅当1/t=1，即k=0时，上式等号成立。
因此，△MAB面积的最大值是16/9。

以上打了半天，打字有点繁琐，但愿你能看得懂这些分数的表示，“百度知道”有待改善数学公式的输入方式。