Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为（1,3） （1）若方程f（x）+6a＝0有两个相

的根，求f（x）的解析式
（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围

Answer 1

你好，解答如下
设f(x)=ax²+bx+c
f(x)＞－2x
即ax²+(b+2)x+c＞0 解集为（1,3）
所以1，3为方程ax²+(b+2)x+c=0的两根
根据韦达定理
c/a=1×3=3，-(b+2)/a=1+3=4
所以c=3a,b=-4a-2
又f（x）+6a＝0有两等根
即ax²+bx+6a+c=0判别式b²-4a(6a+c)=0
将c=3a,b=-4a-2代入解得a=-1/5或a=1(舍去）
所以c=3/5,b=-6/5
所以f(x)=-1/5x²-6/5x+3/5

(2)f(x)=ax²-（4a+2)x+3a
因为f(x)有最大值，所以a＜0
f(x)max=12a²-[(4a+2)²]/4a＞0
解得a＜-2-根号3或根号3-2＜a＜0
回答完毕。

Answer 2

gx=a(x-1)(x-3)
fx=a(x-1)(x-3)+2x

a(x-1)(x-3)+2x+6a=0
ax^2-(4a-2)x+9a=0
(4a-2)^2-48a89a=0
a=1 a=-1/5
a<0
so a=-1/5
fx=-1/5x^x-6/5x/9/5

max=[12a^2-(4a-2)^2]/4a >0
a<-2-根号3 a>-2+根号3

Answer 3

：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax2-（2+4a）x+9a=0．②
因为方程②有两个相等的根，所以△=[-（2+4a）]2-4a•9a=0，
即5a2-4a-1=0．解得a=1或a=-1 5 .
由于a＜0，舍去a=1．将a=-1 5 代入①得f（x）的解析式f(x)=-1 5 x2-6 5 x-3 5 .
（Ⅱ）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-1+2a a )2-a2+4a+1 a及a＜0，可得f（x）的最大值为-a2+4a+1/ a .就
由 -a2+4a+1 /a ＞0 a＜0 解得a＜-2- 根3 或-2+ 根3 ＜a＜0．
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2- 根3 )∪(-2+ 根3 ，0).