Question

微分方程怎么求解？

Answer 1

设p=y',则y''=dy'/dx=pdp/dy

代入原方程得p^2=e^(2y)+C

由y(0)=y'(0)=0得C=-1

所以y=ln√(p^2+1)

两边求导得y'=p=[p/(p^2+1)]dp/dx

于是x=arctanp+C=arctanp

即y'=tanx

从而可得y=-ln|cosx|+C=-ln|cosx|

来源及发展

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。