Question

x趋向于负无穷时x* e^ x的极限怎么求？

Answer 1

要求 x * e^x 在 x 趋向于负无穷时的极限，可以使用洛必达法则来计算。
根据洛必达法则，我们可以求导 x * e^x 的分子和分母来计算极限。
开始求导，分别对 x 和 e^x 求导：
导数的分子为：(d/dx)(x * e^x) = 1 * e^x = e^x
导数的分母为：(d/dx)(1) = 0
现在我们可以计算在 x 趋向于负无穷时的导数极限：
lim(x → -∞) e^x = e^(-∞) = 0
lim(x → -∞) (1) = 1
因为分母的导数极限为非零，而分子的导数极限为 0，所以我们无法直接得到极限的值。
我们可以考虑对函数进行进一步简化。使用泰勒展开，我们可以将 e^x 近似为 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...，当 x 趋向于 0 时，高阶项可以忽略。
将 e^x 近似为 1 + x，我们可以得到近似的极限值：
lim(x → -∞) (x * e^x) ≈ lim(x → -∞) (x * (1 + x))
对于该表达式，我们可以应用极限的乘积规则：
lim(x → -∞) (x * (1 + x)) = lim(x → -∞) x * lim(x → -∞) (1 + x)
当 x 趋向于负无穷时，lim(x → -∞) x = -∞。
而当 x 趋向于负无穷时，lim(x → -∞) (1 + x) = 1 + (-∞) = -∞。
因此，根据极限的乘积规则，我们得到：
lim(x → -∞) (x * (1 + x)) = -∞ * (-∞) = +∞
因此，在 x 趋向于负无穷时，x * e^x 的极限为正无穷（+∞）。

Answer 2

x趋向负无穷时，x*e^x的极限等于0。

解：lim(x→-∞)(x*e^x)

=lim(x→-∞)(x/e^(-x))            （洛必达法则，分子分母同时求导）

=lim(x→-∞)1/(-e^(-x))                   

=lim(x→-∞)-e^x

=0

即limlim(x→-∞)(x*e^x)的极限值等于0。

扩展资料：

1、极限运算法则

令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）加减运算法则

lim(f(x)±g(x))=A±B

（2）乘数运算法则

lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a为已知的常数。

（3）幂运算法则

lim(f(x))^n=A^n

2、极限的重要公式

（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此当x趋于0时，sinx等价于x。

（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。

（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此当x趋于0时，e^x-1等价于x。

参考资料来源：百度百科-极限