Question

定积分是求曲线在定义域内和X轴围城的面积之和。为什么奇函数在定义对称范围内是等于0。

有些题目要注意当面积是负数的时候要变号。。。奇函数的时候不用变号变成+而是直接等于0？

Answer 1

用定积分求曲线与x轴围城的面积，就是对f(x)进行积分。
即S=∫f(x)dx，就是将要求的面积微分为宽度是dx，长度是函数值f(x)的矩形，然后求和。
若f(x)是奇函数，那么其函数图像一定关于原点对称，即f(-x)=-f(x)。
但是要注意，一定要在对称区间上积分才为0.
这就很好理解了，在对称区间上，f(x)=-f(-x)，对于宽度dx相同的微小矩形，其长度f(x)恰好是相反数，规定在x轴下方的面积（此处的面积不是几何意义上的面积，仅仅是f(x)与dx的乘积）为负，所以每两个处于对称位置上的“矩形面积”可以相互抵消。
所以如果对奇函数在对称区间上积分，一定为0.
相应的，如果对偶函数在对称区间上积分，那么值就是对其中一半区间的积分的两倍。

Answer 2

那也要看积分范围。如果是整个定义域, 或从-x到+x, 任何x处的微元面积与-x处的微元面积大小相等，符号相反。

变号估计是面积习惯上不能是负值吧。

Answer 3

注意是求面积而不是积分，求面积要变号，因为面积没有负的，而求积分不用变号的