Question

设椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x²=4根号3y的交点重合，F1,

设椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x²=4根号3y的交点重合，F1,F2分别是椭圆的左右焦点且离心率e=1/2,且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点

1)求椭圆C 的方程

2)是否存在直线l , 使得OM的向量乘以ON的向量=-2.若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。

3）若AB是椭圆C经过原点0的弦。MN‖ AB,求证：(/AB/²) /(/MN/)的定值

Answer 1

1，关键是求ab，椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点是（0，根号3），所以此点是椭圆的上端点，有b^2=3，又因为e=1/2, a^2=b^2+c^2 ,可解出a=2,c=1,，椭圆c的方程为 x^2/4+y^2/3=1

2 假设有这样的直线，方程设为y=kx+b mn是直线与椭圆的交点，把直线方程带入椭圆方程得

（3+4k^2）x^2+8kbx+4b^2-12=0 x1x2=(4b^2-12)/(3+4k^2) y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k^2x1x2+bk(x1+x2)+b^2 =(3b^2-12k^2)/(3+4k^2)

因为两个向量积为-2，即x1x2+y1y2=-2 把上面两式带入有7b^2-4k^2-6=0

又因为直线过椭圆右焦点（1,0），所以k+b=0

解得 k=根号2 b=负根号2 或者k=负根号2 b=根号2

从而可写出直线方程

3 过AB的直线方程可以写出，与椭圆的交点可以求出，那么长度也可以算出，MN也同样可以算

最后得比值就出来了