Question

概率积分

利用二重积分计算概率积分时，若记A=∫(0→a)e^(-x^2)dx
则有A^2=∫∫（D）e^(-x^2-y^2)dxdy，其中区域D={(x,y)|0<=x<=a,0<=y<=a}，这一部是怎么来的？它的几何意义是什么？
为什么=∫∫(0→a)e^(-x^2)dx*∫(0→a)e^(-y^2)dy=∫∫(D)e^(-x^2-y^2)dxdy，D={(x,y)|0<=x<=a,0<=y<=a}？这一部的几何意义是什么？
二重积分化为累次积分,为什么能这样化？

Answer 1

A的平方=∫(0→a)e^(-x^2)dx乘以∫(0→a)e^(-x^2)dx
然后，你应该知道积分和所积的变量无关，例如：∫xdx和∫ydy是一样的。上个式子我们把第二个里面的x换成y
所以：A的平方=∫(0→a)e^(-x^2)dx乘以∫(0→a)e^(-x^2)dx=∫(0→a)e^(-x^2)dx乘以=∫(0→a)e^(-y^2)dy，这不就是一个二重积分（∫∫（D）e^(-x^2-y^2)dxdy，其中区域D={(x,y)|0<=x<=a,0<=y<=a}）的展开吗？
还望您的采纳。如还有疑问请HI我

Answer 2

A=∫(0→a)e^(-x^2)dx
A^2=∫(0→a)e^(-x^2)dx*∫(0→a)e^(-x^2)dx
=∫(0→a)e^(-x^2)dx*∫(0→a)e^(-y^2)dy（积分与所用的变量无关）
=∫(D)e^(-x^2)dx*e^(-y^2)dy（由于两个积分的积分限相同且彼此没有关系，因此两个积分可以合并）
=∫∫(D)e^(-x^2-y^2)dxdy，D={(x,y)|0<=x<=a,0<=y<=a}
D表示一个边长为a的正方形，顶点分别为(0,0),(0,a),(a,0),(a,a)

Answer 3

A=∫(0→a)e^(-x^2)dx
=∫(0→a)e^(-y^2)dy
那很明显根据二重积分化为累次积分∫∫（D）e^(-x^2-y^2)dxdy=∫(0→a)e^(-x^2)dx∫(0→a)e^(-y^2)dy=A^2