怎么求非齐次线性方程组的基础解系。?

 我来答
折清祎
2023-08-08 · 超过210用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
回答量:434
采纳率:100%
帮助的人:7.6万
展开全部
要求非齐次线性方程组的基础解系,可以通过以下步骤进行:

1. 解齐次线性方程组:首先,求解对应的齐次线性方程组。这是由非齐次方程组去掉常数项后得到的方程组。求解齐次方程组可以得到齐次方程组的基础解系,记为 {x1, x2, ..., xn}。

2. 特解求解:随后,求解非齐次方程组得到一个特解,记为 x0。这可以通过代入法、克莱姆法则或高斯消元法等方法得到。

3. 线性组合:将特解与齐次方程组的基础解系进行线性组合。这意味着将特解与齐次方程组的解向量按照一定系数进行加权求和。

4. 得到基础解系:将线性组合得到的向量集合作为非齐次线性方程组的基础解系。这个集合中的每个向量都是非齐次方程组的解。

需要注意的是,非齐次线性方程组的解可能不唯一,因为特解的选择有多种可能。然而,基础解系是非齐次方程组所有解的最小线性无关集合。

另外,如果非齐次线性方程组的系数矩阵满秩,并且非齐次项不在该系数矩阵的列空间中,那么非齐次方程组有唯一解。在这种情况下,基础解系为空集。
富港检测东莞有限公司
2024-12-24 广告
正弦振动多用于找出产品设计或包装设计的脆弱点。看在哪一个具体频率点响应最大(共振点);富港工业检测技术有限公司是一家专业的第三方检测机构,拥有完善的质量管理体系,先进的检测设备,优秀的技术人才;已取得CNAS、CMA、ISTA等资质认可,包... 点击进入详情页
本回答由富港检测东莞有限公司提供
txlily67
2023-08-06 · TA获得超过4.9万个赞
知道大有可为答主
回答量:8650
采纳率:73%
帮助的人:916万
展开全部
这需要两个结论:
设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成:
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关
所以 k1=k2=...=kn-r=0
进而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.
已赞过 已踩过<
你对这个回答的评价是?
评论 收起
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式