Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f(x)≤x^2-3x+3.求

、f(x)的表达式
2、若关于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空，求实数n的取值集合n
3、若关于x的方程f(x)=nx-1的两根为x1,x2,试问：是否存在实数m，使得不等式
m^2+tm+1≤｜x1-x2｜对任意n∈[-3,3]恒成立？若存在求出m的取值范围；若不存在说明理由。

Answer 1

我记得3年前遇过相似的题，这暴难的啊。

考虑到x-1与函数x^2-3x+3切于(2，1)
∴f(2)=1
f'(2)=(x-1)'|x=2=1
再与f(-1)=0联立
解得
a=2/9
b=1/9
c=-1/9
f(x)=(2/9)x^2+(1/9)x-1/9

第二小题
移项，用根的判别式≥0
解得n∈{x|x≤-7/9或x≥1}

第三小题
观察n∈[-3,3]，跨过了第二小题区域，故当x1=x2时|x1-x2|=0取得最小值

∴m^2+tm+1≤0
t为任取，取t=0得
m^2+1≤0
无法成立，故不存在这样的m使得不等式
m^2+tm+1≤｜x1-x2｜对任意n∈[-3,3]恒成立

Answer 2

∈是什么