Question

高一数学竞赛题求解？！

1.数y-f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）成立，若当x∈〔1,2〕时，y=log2x求；（1）y=f（x）在区间〔--1,1〕上的解析式。（2）y=f（x）在区间〔2k-1,2k+1〕（k∈z）上的解析式。
2.从1至169的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有——种。
3.把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方式有多少种。

希望第一题能有解答过程，谢谢！

Answer 1

1.解：由于f(x+1)=f(x-1)对任意x均成立，换x为x+1有f(x)=f(x+2)，说明f(x)是一个周期为2的周期函数。故当x∈(-1,0)时，x+2∈(1,2)，∴f(x)=f(x+2)=log(2)(x+2)
又∵f(x)为偶函数，即f(x)=f(-x)，于是当x∈(0,1)时-x∈(-1,0)，f(x)=f(-x)=log(2)(-x+2)
或者可以统一写为当x∈(-1,0)∪(0,1)时，f(x)=log(2)(-|x|+2).
你题目应该还有条件吧，要不f(0)求不出啊
第(2)问无需多说了吧，它是周期为2的周期函数，再结合它在(-1,1)上的表达式就可以求出在(2k-1,2k+1)上的表达式了
2.分类讨论穷举呗：公比为2，设首项为a，那么2² a≤169，得a≤169/4=42.25，a可以为1,2,...,42共42种取法
同理，公比为3，首项可以为1,2,...,18共18种
公比为4，有10种；公比为5，有6种；公比为6，有4种；公比为7，有3种；公比为8，有2种；公比为9，有2种；公比为10，有1种；公比为11,12,13时均只有1种，公比大于13就没有了
于是总共的取法有：42+18+10+6+4+3+2+2+1×4=91种
3.设2008=m²-n²，则2008=(m+n)(m-n)，首先m,n不为0，先设m，n为正整数，又2008=2³×251(分解质因数)
而m+n，m-n同奇偶，他们相乘为一个偶数，所以他们都是偶数，又m-n<m+n，故m-n可以取2,4，对应的m+n为1004,502，对应的(m,n)为(503,501),(253,249)
考虑到m,n还可以为负数，所以(m,n)有(±503,±501),(±253，±249).
共有8种