Question

急急急，数学题，求助……

已知一抛物线与x轴相交于A(-1,0)、B（3，0）两点，顶点为C，
若AC⊥BC。求该抛物线的解析式。（顶点C在第一现象，开口向下）（图传不了，呜呜……望见谅，帮一下吧，详细过程）

Answer 1

你好
这道题用两根式比较方便
因为它与X轴相交于A(-1,0)、B（3，0）
所以设f(x)=a(x+1)(x-3)
根据对称性，可知△ABC为等腰直角三角形
过点C做AB的垂线交AB于点D
那么AD=CD
对称轴为2
所以CD=AD=1/2AB=2
所以点C的坐标为（1,2）
带入f(x)=a(x+1)(x-3)
可解得a=-1/2
所以所求解析式为f(x)=-1/2x²+x+3/2
回答完毕。

Answer 2

对称轴x=(-1+3)/2=1
所以C(1,k)
且AC=BC
所以ABC是等腰直角三角形
则斜边的中线是斜边AB=|-1-3|=4的一半，即2
所以高也是2
则C到x轴距离是2
k=2
y=a(x-1)²+2
代入A
解得a=-1/2
y=-x²/2+x+3/2

Answer 3

画个草图，由抛物线的对称性可知三角形ABC为等腰直角三角形
可知C（1，y），再由AC垂直BC，（x+1）（x-3）+y^2=0
将C代入，可得C(1,2)(因C点在第一象限，y=-2舍去）
由三点可得，或用a（x-3）（x+1）=y
可得解析式为-1/2（x-3）（x+1）=y
此题应用数形结合来想。

Answer 4

解：由题意知 顶点横作标为 1
因为 ac垂直bc (由函数性质可知，ac=bc ab=4）
过点c作cd垂直x轴
， 所以：ad=db=2bc=2倍根号2
又 因为：cd垂直x轴
所以：cd=2
得：c(1,2)
设：y=a(x-1)平方+k
将点代入
得方程：y=-0.5(x-1)平方+2

Answer 5

解：依题意，可设该抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a<0),顶点为C(Xo,Yo)(Xo>0,Yo>0)
也因为C为顶点即有f'(Xo)=0,
又因为f'(x)=2a-2a=0恒成立，所以该抛物线实际上为一条直线
而这与题目相矛盾，故此题无解