Question

已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC,AD=DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的

已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC,AD=DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF、BF1》探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明｛2｝将图一中△ADE绕A点顺势针旋转45°，在连接CE，取CE的中点F｛如图2｝，问｛1｝中的结论是否仍然成立？证明你的结论；｛3｝将图一中△ADE绕A点转动任意角度｛旋转角在0°到90°之间｝，在连接CE，取CE的中点F如图三，问｛1｝中的结论是否仍然成立?证明你的结论。

Answer 1

∴ BD＝BG
又∵∠ABC＝
∴ EG=CG且EG⊥CG.
(3)仍然成立. 25. 解：（1）DF=BF且DF⊥BF
证明：如图1：
∵∠ABC＝∠ADE= ，AB= BC，AD=DE
∴ ∠CDE= ，∠AED=∠ACB=45°
∵F为CE的中点
∴ DF=EF=CF=BF，
∴ DF=BF；
∴ ∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EGF＋∠CGF＝2∠DCB=90°， 即：∠DFB＝90°，
∴DF⊥BF.
(2)仍然成立.
证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵∠ABC＝∠ADE=
∴ DE‖BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵ EF=CF，∠DFE=∠GFC
∴ △DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG
∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG

证明：如图3，延长BF至点G，使FG＝BF，联结DB、DG，GE
∵EF=CF, ∠EFG=∠CFB
∴ △EFG≌△CFB，
∴ EG=CB，∠EGF＝∠CBF，
∴EG‖CB，
∵AB= BC，AB⊥CB,∴ EG=AB，EG⊥AB，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB
∴∠DAB=∠DGE
∴ △DAB≌△DEG，
∴ DG=DB, ∠ADB=∠EDG
∴∠BDG=∠ADE=90°
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴ DF=BF且DF⊥BF.

Answer 2

25. 解：（1）DF=BF且DF⊥BF.-----------------1分
证明：如图1：
∵∠ABC＝∠ADE= ，AB= BC，AD=DE
∴ ∠CDE= ，∠AED=∠ACB=45°
∵F为CE的中点
∴ DF=EF=CF=BF，
∴ DF=BF； ------------------2分
∴ ∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EGF＋∠CGF＝2∠DCB=90°， 图1
即：∠DFB＝ ，
∴DF⊥BF. -------------------3分
(2)仍然成立.
证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵∠ABC＝∠ADE=
∴ DE‖BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵ EF=CF，∠DFE=∠GFC
∴ △DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG-----------4分
∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG
∴ BD＝BG ---------------5分
又∵∠ABC＝ 图2
∴ EG=CG且EG⊥CG. ---------------6分
(3)仍然成立.
证明：如图3，延长BF至点G，使FG＝BF，联结DB、DG，GE
∵EF=CF, ∠EFG=∠CFB
∴ △EFG≌△CFB，
∴ EG=CB，∠EGF＝∠CBF，
∴EG‖CB，
∵AB= BC，AB⊥CB,∴ EG=AB，EG⊥AB，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB
∴∠DAB=∠DGE
∴ △DAB≌△DEG，
∴ DG=DB, ∠ADB=∠EDG -----------------7分
∴∠BDG=∠ADE=90° 图3
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴ DF=BF且DF⊥BF. ----------------8分

Answer 3

解：（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）
证明：如图1：
∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，
∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，
∵F为CE的中点，
∴DF=EF=CF=BF，
∴DF=BF；（2分）
∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，
即：∠DFB=90°，
∴DF⊥BF．（3分）