Question

一道导数题

f(x)=sinx/(2+cosx)
(1)求其单调区间
（2）当x大于等于0时，求证f(x)小于等于（1/3）x

Answer 1

(1) f(x)=sinx/(2+cosx) ,f'(x)=(2cosx+1)/(2+cosx) ^2
当2cosx+1>0, 2kπ -2π/3< x < 2kπ +2π/3, f'>0 ,f 增；
当2cosx+1<0, 2kπ +2π/3< x < 2kπ +4π/3, f'<0 ,f 减；
故，单调增区间为[2kπ -2π/3 , 2kπ +2π/3]; 单调减区间为[2kπ +2π/3 , 2kπ +4π/3];
（2）令 g(x)= sinx/(2+cosx) -（1/3）x, x≥0
g'(x) = (2cosx+1)/(2+cosx) ^2 -1 /3
= -(cosx-1)^2 / [3(2+cosx) ^2 ]≤0
当 x≥0，g(x) ≤g(0)=0,
sinx/(2+cosx) -（1/3）x ≤0 得证。