Question

n,k是正整数，且满足不等式 1/7<n-k/n+k<63/439.若对于某一给定的n，只有唯一的k使不等式成立，求最大最小

Answer 1

解：
1/7＜(n-k)/(n+k)＜63/439 即
1/7＜(n+k-2k)/(n+k)＜63/439 即
1/7＜1-(2k)/(n+k)＜63/439 即
-6/7＜-2k/(n+k)＜-376/439 即
188/439＜k/(n+k)＜3/7 即
7/3＜(n+k)/k＜439/188 即
7/3＜n/k +1＜439/188 即
4/3＜n/k＜251/188 即
188/251＜k/n＜3/4 .....(1)
即 188n/251＜k＜3n/4.....(2)
因为 k为正整数，且对于给定的n，k只有一个，
所以 3n/4 - 188n/251 ≤ 2，即
n≤2008
当n=2008，代入（2）有1504＜k＜1506，只能取得唯一k=1505
故n的最大值为2008。

又根据（1）式188/251＜k/n＜3/4，即 752/1004＜k/n＜753/1004，显然分子n＞1004
当n取1005时，752.75＜k＜753.75 （为了比较方便，我把分式化为近似小数），有唯一对应的k=753，
故n的最小值为1005。.