Question

证明简单的不等式:

x^ky^(2n-k)+x^(2n-k)y^k<=x^2n+y^2n
[x^k]*[y^(2n-k)]+[x^(2n-k)]*[y^k]<=x^2n+y^2n

能不能简洁点，一眼看出来

Answer 1

要证原不等式只需证：x^k(y^(2n-k)-x^(2n-k))+y^k(x^(2n-k)-y^(2n-k))≤0；……（把右边移到左边，并提取公因式即得）
只需证：(x^k-y^k)(y^(2n-k)-x^(2n-k))≤0
下面对x,y的大小关系进行讨论。
1.若x>y则 (x^k-y^k)>0,(y^(2n-k)-x^(2n-k))<0，乘积<0;原不等式成立；
2.若x<y则 同理原式<0;原不等式成立；
3.若x=y则 原式=0；原不等式成立；
综上，原不等式得证。
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对问题补充的回答：
首先我看到这个不等式就觉得是这样做，其实也很简单啊。
对于某些有限制的条件是可以稍微简化的，比如x>0,y>0或k为正整数等。
这里这些条件都没有，就是默认x,y,k都属于R，这个条件是很宽泛的，不大好用于偷懒。。。那么如果想简洁的话我所知道的就这样了。。。
抱歉。。。