Question

高三数列题

各位高手给出详细解答，特别是第二问，完全没头绪啊！

Answer 1

(1)
已知a1=1/1,a2=1/4
设an=1/(3n-2),那么
a(n+1)=(n-1)an/(n-an)=(n-1)/(3n-2) /(n-1/(3n-2))=
(n-1)/(3n^2-2n-1)=(n-1)/[(3n+1)(n-1)]=1/(3(n+1)-2)
由数学归纳法知
an=1/(3n-2)
(2)
(1->n)∑6(ai)^2<7 <=> (3->n)∑6(ai)^2<5/8
(3->n)∑6(ai)^2 = (3->n)∑6*(1/(3i-2))^2 < (3->n)∑6*(1/(3(i-1)))^2=
=(2->n)∑6*(1/(3i))^2 < (2->∞) 6/9 ∑1/i^2= 6/9 * (π^2/6-1)=π^2/9-2/3< 1/2 <5/8
从而得证
我这里用的是1/n^2的和的极限是π^2/6
这道题的难点不在于用什么方法求上限，而在于从哪里开始变换。
由于<7这个上限太紧了(∑6ai^2的极限时大概6.7)，变的早了就超过了7。
变的晚了固然能得到答案，但是计算量就大了。

Answer 2

.........算了吧。直接放弃。高考不考这题。呵呵

Answer 3

LZ应该能得出an=1/3n-2吧，第二个问就是先把an^2先放大，再裂项，不过要从第三项开始放缩.
对于放缩法应该多练习，完完全全看答案没多少效果

Answer 4

一共两张图，上边的那个时第一问，用的不是数学归纳法。不过相对这道题而言，用数学归纳法更简单一些。第二问的和楼上的解法一样= =，主要还是要用到那个π^2/6这个极限值。