Question

如图，在圆O中，弦AB与CD相交于P，、 1 若AB,CD与OP成等角，求证：AB=CD 2 若AB=CD，求证：AC=BD；PA=PD

Answer 1

证明：1。
过O作OE⊥AB于E点，过O作OF⊥CD于F点
在直角三角形OPE与直角 三角形OPF中
∵AB,CD与OP成等角
∴∠OPE=∠OPF
又OP是公共边
∴直角三角形OPE≌直角 三角形OPF(角，角，边)
从而 OE=OF ① PE=PF ②
在直角三角形AOE与直角三角形COF中
由①得OE=OF
又OA，OC是圆的半径
从而OA=OC
∴直角三角形AOE≌直角三角形COF (斜边，直角边)
从而AE=CF ③
由②+③得 PE+AE=PF+CF
即 AP=CP ④
由圆的相交弦定理，得 AP*PB=CP*PD ⑤
由④⑤得 PB=PD ⑥
④+⑥得 AP+PB=CP+PD
即AB=CD
2．
连接AC，BC，BD，AD
在三角形BAC与三角形CAD中
∵AB=CD
∴弧AB=弧CD
从而∠ACB=∠CAD（等弧对等圆周角）
又弧BC=弧CD-弧BD，弧AD=弧AB-弧BD
∴弧BC=弧AD
从而∠ACD=∠BAC（相等弧所对的圆周角相等）
又AC是公共边
∴三角形BAC≌三角形CAD（角，边，角）
从而AC=BD
在三角形PAC与三角形PBD中
∠CAP=∠CDB，∠ACP=∠DBP
又已证AC=BD
∴三角形PAC≌三角形PBD（角，边，角）
从而PA=PD