Question

设函数fx)=(x^2+ax+b)e^x,且f(0)=7,x=1是它的极值点

1求F(X)的表达式
2.试确定F(X)的单调区间

Answer 1

f(0)=(0+0+b)*e^0=b=7
x=1是极值则f'(1)=0
f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+7)e^x
则f'(1)=(2+a)e+(1+a+7)e=0
2+a+1+a+7=0
a=-5
所以f(x)=(x^2-5x+7)e^x

f'(x)=(2x-5)e^x+(x^2-5x+7)e^x
f'(x)>0则2x-5+x^2-5x+7>0
x^2-3x+2>0
x<-2,x>-1
同理f'(x)<0则-2<x<-1
所以
增区间(-∞,-2)∪(-1,+∞)
减区间(-2,-1)