Question

数列数列~~~~~~

已知n∈N+ ,n＞1 ,求证 (1+1/3)(1+1/5)(1+1/7)……(1+1/(2n-1))＞√(2n+1)/2
不用数学归纳法可以证吗？好像是上海某年的高考题……

还有哪位高手可以给讲讲高中数列常用的方法？比如假分数放缩法，构造对偶式，放缩通项……这些都是什么时候用？放缩有什么技巧吗？

另外有没有一些课本以外，但比较好证明，而且高考常见，记住比较好的不等式？希望举出一些。感激不尽。

好的再给追加~~~
我问的就是 不用 数学归纳法 怎么证。。。

Answer 1

证法1、
设an=(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7+*…*[1+1/(2n-1)],
bn=(1+1/4)*(1+1/6)*(1+1/8)+*…*[1+1/(2n)].
显然an>bn.
an=(4/3)*(6/5)*(8/7)*...*[2n/(2n-1)];
bn=(5/4)*(7/6)*(9/8)*...*[(2n+1)/(2n)].
而(an)^2>an*bn=(2n+1)/3>(2n+1)/4.
故an(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7)*…*[1+1/(2n-1)]>[√(2n+1)]/2.
证法2、http://wenwen.soso.com/z/q148942658.htm
证法3、http://blog.xkyn.com/neirong-shenme-dui-wangzhan-shenme-jingyan-ziliao-hao-ziliao-.html
高考常用：
比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法
综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。
分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。
换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考
反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立
放缩法：
用柯西不等式证。等等……
最好不要用课外不等式：万一你用的不对的话，老师看不懂，直接打错，要是你有能力就用吧

课外不等式：
这个好多啊
我就打十个吧
柯西不等式（这样算课外吧，因为选修部分讲的内容很少）
jacobsthal不等式
AG不等式
hǒlder不等式
胡克不等式
kober不等式
carlson不等式
递归不等式
排序不等式
三角不等式
琴生不等式
匿了 但是还是希望采纳加分啊 O(∩_∩)O谢谢

Answer 2

用数学归纳法：

(1)当n=2时不等式左边等于4/3，右边等于(根号5)/2，左边>右边，故此时不等式成立；

(2)假设当n=k(k∈N+ ,k＞1)时不等式成立，则有：
(1+1/3)(1+1/5)(1+1/7)…[1+1/(2k-1)]＞√(2k+1)/2
则当n=k+1时，有：
(1+1/3)(1+1/5)(1+1/7)…[1+1/(2k-1)][1+1/(2k+1)]＞[√(2k+1)/2][1+1/(2k+1)]=[2(k+1)*√(2k+1)]/[2(2k+1)]

因为2k+1>0
所以8k^3+20k^2+16k+4>8k^3+20k^2+14k+3
(4k^2+8k+4)(2k+1)>(4k^2+4k+1)(2k+3)
√[(4k^2+8k+4)(2k+1)]>√[(4k^2+4k+1)(2k+3)]
2(k+1)√(2k+1)>(2k+1)√(2k+3)
[2(k+1)√(2k+1)]/[2(2k+1)]>[(2k+1)√(2k+3)]/[2(2k+1)]=[√(2k+3)]/2

所以
(1+1/3)(1+1/5)(1+1/7)…[1+1/(2k-1)][1+1/(2k+1)]＞[√(2k+1)/2][1+1/(2k+1)]=[2(k+1)*√(2k+1)]/[2(2k+1)]>[√(2k+3)]/2
即当n=k+1时不等式也成立

综上：当n∈N+ ,n＞1时不等式
(1+1/3)(1+1/5)(1+1/7)…[1+1/(2n-1)]＞√(2n+1)/2
成立

祝你学习天天向上~

Answer 3

放缩法，介个.........除了多积累，感觉还真没其它捷径了。。。。。LZ给的题目是个比较老的了，貌似是08还是09某个省市的压轴题最后一问。LZ可以查查
PS：能用数学归纳法做出来的，一定能用放缩法完成，两者是相通的

Answer 4

你好！
数学归纳法：http://zhidao.baidu.com/question/112894152.html?fr=ala0
用数学归纳法，n=2,成立。
假设n=k时命题成立:(1+1/3)(1+1/5)……(1+1/(2k-1))>根号(2k+1)/2
只需证
（1+1/2k+1）（根号(2k+1)/2）>
根号(2k+3)/2即可
即证(2k+3）/(2k+1）>根号(2k+3)/根号(2k+1)
因为大于1的数开根号后比原来小，
故(2k+3）/(2k+1）>根号(2k+3)/根号(2k+1)成立，进而原题得证。
不明白可再问我。
祝新春快乐！