Question

一道数学几何题【数学高手上】 【本题有图】

1. 如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，求tan∠ABM的值。

Answer 1

解:延长MN,BC,交于E,从E点向BM作垂线,垂足为F

     ∵∠NMB=∠MBC(已知)

     ∴△MBE是等腰三角形

   ∵EF⊥BM(已作)

     ∴BF=(1/2)BM(等腰三角形的性质)

     在Rt△MDN和Rt△CNE中

   ∵DN=NC(已知)

        ∠MND=∠CNE(对顶角)

     ∴Rt△MDN≌Rt△CNE(ASA)

     ∴MD=CE

     在Rt△ABM和Rt△BFE中

   ∠ABM=90-∠MBC=∠FEB

    ∴Rt△ABM∽Rt△BFE

  设AM=x,AD=a

      则MD=CE=a-x

    ∵Rt△ABM∽Rt△BFE

    ∴AM/BF=BM/BE

     BF=(1/2)BM

   ∴BM^2=2AM BE

     其中AM=x   BM=√(AM^2+AB^2)=√(x^2+a^2)    BE=2a-x

     ∴a^2+x^2=2x(2a-x)

       3x^2-4xa+a^2=0

    解得x1=a  x2=a/3 

    x1=a不符合题意,所以取x=a/3

   tan∠ABM=AM/AB=x/a=1/3

Answer 2

我表示没看到图。。。
解：延长MD与BC并令其交点为G，设MD=x，正方形的边长为1；
则有：因为∠BMN=∠MBC，故BG=MG；又三角形MND全等于三角形NGC（证明很简单，就不多说了） 故有：GC=MD=x，NM=（1+x）/2，又DN=1/2;由勾股定理可得（（1+x）/2)2-(1/2)2=x2；
解得：MD=2/3; 故AM=1/3;tan∠ABM=AM/AB=1/3；