Question

已知12a²+7b²+5c²≤12a|b|-4b|c|-16c-16，求a、b、c的值

Answer 1

注意到要求a、b、c的值，那么猜想是取到等号的情况。所以思路是：证明左边≥右边，然后取等。最基本方法是配方。
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首先注意到有绝对值，都把没有绝对值的放到绝对值，即：
12|a||b|+4|b||c|-16c-16≥12a|b|-4b|c|-16c-16
又注意到（12a²+7b²+5c²）-(12|a||b|+4|b||c|-16c-16)=（12a²-12|a||b|+3b²）+（4b²-4|b||c|+c²）+（4c²+16c+16）……（注：这步需要自己观察，说白了就是凑的...）
(接上面等式：）=3(2|a|-|b|)²+(2|b|-|c|)²+4(c+2)²≥0
∴12a²+7b²+5c²≥12|a||b|+4|b||c|-16c-16
而12|a||b|+4|b||c|-16c-16≥12a|b|-4b|c|-16c-16
∴12a²+7b²+5c²≥12a|b|-4b|c|-16c-16
由题知12a²+7b²+5c²≤12a|b|-4b|c|-16c-16
∴12a²+7b²+5c²=12a|b|-4b|c|-16c-16
考察每次不等式放缩取等条件（即3(2|a|-|b|)²+(2|b|-|c|)²+4(c+2)²≥0这个不等式取等条件，和12|a||b|+4|b||c|-16c-16≥12a|b|-4b|c|-16c-16的取等条件）：
前者要求2|a|=|b|,2|b|=|c|,c=-2，后者要求a≥0,b≤0
故可得a=1/2,b=-1,c=-2
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解完了，不放心可以代入检验。。