Question

关于定积分可积条件的问题

定积分定义中说区间[a,b]上的连续函数和有有限个第一类间断点的函数可积(暂不考虑广义积分的问题)，我的问题是，请给出这个定理的证明(不一定你自己写，有现成的资料也可以，但必须证明得清楚严谨)，并且说明如何计算有此类间断点的定积分(我给举个例子[0,1]上对ln(x+1)/x的定积分)，如果有好的回答会再加分，说到做到
您至少给我把上面的证明写一下吧....

Answer 1

首先你要知道Riemann可积的一些充要条件，比如Darboux和的极限相等，任意划分的振幅加权后趋于0，用定义都很容易证明，最深刻的Lebesgue定理可以等学实分析的时候再掌握。
然后先证明连续函数的情形，利用一致连续性，对任何e>0，存在d>0，当最大划分直径|x_{i+1}-x_i|<d的时候每个区间上振幅w=|f_max-f_min|<e/(b-a)，相加即得Riemann可积的充要条件\sum w_i*(x_{i+1}-x_i) < e。
对于有间断点的函数，不论哪类间断点，只要函数有界并且间断点可数，取一组小区间覆盖间断点，可以使这部分区间上\sum w_i*(x_{i+1}-x_i) < e/2，余下的区间按照连续函数可积的性质也有\sum w_i*(x_{i+1}-x_i) < e/2，这样就行了。
如果要例子，拿分段线性函数做例子就行了，按照等距划分算一下，以帮助理解为主，没必要搞很怪的例子。至于你举的那个积分，最好是用级数做，用定义去证明它等于pi^2/12完全是自找麻烦，即使有Newton-Leibniz公式和换元法作为辅助工具也不容易，而且ln(1+x)/x本质上讲没有间断点，并不是好的例子。

Answer 2

riemann可积的定义是这样的：
是函数f在区间[a,b]上定义，对[a,b]作任意分划：
a=x0<x1<x2<……<xn=b,
对任意Ei属于[xi-1,xi](i=1,2,3,……,n)作和
f(E1)Δx1+f(E2)Δx2+……+f(En)Δxn,
其中Δxi=Xi-X(i-1)为小区间长度。若当λ=max{Δxi}-->0,上述和式总有极限I，则称函数f在[a,b]上riemann可积(简称可积)。
……
也就是说只要把函数分割成无数无穷小的小段，每个小段中任意取一个E，求f(E)Δx，只要这么多乘积的和随着分割的不断细化能趋向于某个数，就riemann可积了。
……
这个过程中只要符合条件，具体的分割方式以及每个小段里E的取法都是无所谓的
……
所以如果函数里面有有限的第一类间断点，只要在求和过程中取E的时候不取这些间断点就可以了，积分的时候就可以无视这些间断点，当一般的连续函数来算了
……
……
……
哦对了，以上的话是建立在连续函数可积的基础上讲的
区间内连续函数肯定是可积的，只要连续，振幅就可以达到任意小，这样的话达布上和和达布下和的差随着分割的不断细化就能无限接近0，这个是可积的充要条件。……

Answer 3

可看一下，高等教育出版社，数学分析（第二版）上册，陈传璋编的
此书在第七章,定积分的存在的条件中，就此问题给予详细解释解释，并有例子。
例如，黎曼函数，在无理数处连续，在有理数处不连续，在[0，1]上可积

Answer 4

先简单举个例子吧,有什么问题我们可以互相探讨!
http://hi.baidu.com/zjhz8899/album/item/51aeb483c758cbf00df4d2ba.html#