Question

2008年广州中考数学试题第24题的（2）问，不要只给答案，方便的解释一下！

24、（2008广州）（14分）如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形
（2）当点C在 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度

Answer 1

第一问分析：求证四边形OGCH是平行四边形，
就是要证明它 对边平行
或证明它 对边相等
或证明它有一组 对边平行且相等
或证明它对角线互相平分

就本题而言，前三种方案均需要通过 全等 来证明，较麻烦。
第四种方案“证明它对角线互相平分” 较为简洁。解释如下：
先由CD⊥OA、CE⊥OB、圆心角∠AOB=90° 您可知，
四边形OECD 当中 有三个角是直角，故 四边形OECD是矩形。
而矩形作为一种特殊的平行四边形，它当然具有平行四边形“对角线互相平分”的性质。
∴ 连OC， 设OC与DE交于M，则有：MO=MC 且 ME=MD
∵HE=GD
∴ME--HE = MD--GD
即：MH = MG 结合 MO=MC 知四边形OGCH对角线互相平分，故它是平行四边形。

以下重点解释第二问！
第二问的结论是：DG长度不变。
理由是：矩形OECD的对角线相等，ED = 半径OC = 3，
∴DG = (1/3)×ED = 1, DG长度不变。

① CD为什么长度改变？
因为 随着点C在弧AB移动，点C到OA的距离CD 是不断变化的。

② CG为什么长度改变？ （这一问是本题的重点所在）
设 CD = x ，则 CE = √（9--x2） （ 即 CE =（9--x2） 的算术平方根 ）
过C 作 CN ⊥ ED 于 N，
由 S△ECD = （1/2）× CD× CE = （1/2）× ED× CN 得：

CD× CE = ED× CN

∴ CN = （CD× CE）/ ED
= [ x √（9--x2）] / 3

∴ CN2 = [ x2 （9--x2）] / 9

∴ DN2 = CD2 -- CN2
= x2 -- [ x2 （9--x2）] / 9
= 9 分之x的四次方
∴ DN = x2/3

∴ GN = DN -- DG
= x2/3 -- 1

∴ CG2 = GN2 + CN2
= （x2/3 -- 1）2 + [ x2 （9--x2）] / 9
= （3x2 + 9）/ 9

以上是CG与x的关系式，由于x是变量，故CG长度改变。

注：现在网页上 有关本题的答案当中，
均出现 “ 由 DE × CG = CD × EC 得 CG = [ x √（9--x2）] / 3 “ 的解释，实在令人费解。同学们由此误以为 CG ⊥ DE 。

希望通过我的解答，提问者能彻底掌握该题。

Answer 2

参考答案（比较简短） ：DG不变，在矩形ODCE中，DE=OC=3，所以DG=1.

解说（纯属自己组织，希望看得明白~）：首先说一下为什么CD、CG长度会改变， 因为当C点在弧BC上移动时，C点到线段AO的距离一定会改变，所以CD会改变；而同样的，当C点移动时，虽然线段ED会相应的移动，但是C点到线段CG的距离不一定不变。
而ED的线段长一定是一个定值，所以DG（是ED的三分之一）也一定不会改变。在第一小问中，已求出四边形OGCH是一个平行四边形，我们可以得知，OC=DE（对角线长相等），而扇形AOB是以AO为半径的，所以从圆心O到弧AB上任意一条线段都等于半径OA（题目给出等于3），那么我们可以得知OC就等于3，又知DE=OC=3，我们就可求出DG=3/1DE=1.

希望LZ采纳~~

Answer 3

内有详细解释
http://wenku.baidu.com/view/31ad1e8583d049649b6658b8.html

Answer 4

http://wenku.baidu.com/view/31ad1e8583d049649b6658b8.html