Question

高一数学函数问题

20.已知函数f(x)=x²-2|x|.
（1）判断并证明函数的奇偶性，并作函数图像（2）判断函数f(x)在（-1,0）上的单调性并加以证明。

Answer 1

(1)f(-x)=(-x)²-2|-x|=x²-2|x|=f(x)
So the function is an even one.
(2)Let us suppose that x1 and x2 are two numbers in (-1,0) and x1<x2
f(x1)=x1²-2|x1|.
f(x2)=x2²-2|x2|.
f(x1)-f(x2)=(x1²-x2²)+2(x2-x1)
Because x1<x2<0
x1²>x2²
So x1²-x2²>0
And you can easily deduce that x2-x1>0
So f(x1)-f(x2)=(x1²-x2²)+2(x2-x1)>0
In this way we can prove that the function increases in the section (-1,0).

Answer 2

1 将-x带入 可得 f（-x）=f（x） 所以是偶函数 当x>0时f（x）=x2-2x画出图像 再根据与y轴对称画出另一部分
2 当x在（-1,0）时，f（x）=x2+2x 由二次函数知识得其对称轴为直线x=-1开口向上
所以它在（-1,0）上单调递增

Answer 3

兄弟，很明显这是一个偶函数煞，你把X取-X带入原方程得X等于X的等式，即f(x)=f(-x)，所以此函数是一个偶函数，函数图像你可以根据五点作图法做略图啊。第二题的区间单调性，你令X1、X2属于区间（-1，0），X1>X2，根据函数式可以知道f(x1)恒大于f(x2)。