Question

有关复数的题目

一. 设点Z表示复数Z,在复平面内如何通过画图的方法,找出表示下列复数的点?
1) Z+(3+4i)
2) 0.2Z
3) -(根2)z
4) Z(cos60度+isin60度)
5) -iZ
6) a^2/Z(a全属于R)

二. 巳知n全属于N,求证:
1) i^n+i^(n+1)+i^(n+2)+i^(n+3)=0
2) [(1+i)/(1-i)]^2n , 当n是偶数时为1 ; 当n是奇数时为-1
3) {-1/2+[(根3)/2]*i}^n , 当n是3的倍数时为2,当n不是3的倍数时为-1

三. 要把复数a(cosα+isinα),b(cosβ+isinβ)的和写成复数r(cosθ+isinθ),应该怎样用a,b,α,β来表示r,θ?
请写出详细过程~谢谢~

Answer 1

二、
1）n, n+1,n+2,n+3,必定是两个技术两个偶数，这是一种思维方法，可以解出。
另外就是原式=i^n+i^n*i+i^n*i^2+i^n*i^3=i^n+i^n*i+i^n*(-1)+i^n*(-i)=0
2)[(1+i)/(1-i)]^2=-1(小算一下），所以=（-1）^n,所以可以证明。
3）括号中的部分，因为cos2pi/3=-1/2且sin2pi/3=根3/2，所以稍微计算一下可以知道括号里面等于exp(i2pi/3),所以原始可以化简为exp(in 2pi/3），可以得到等于[exp(ipi)]^(2n/3)=(-1)^(n/3),所以当n是3的倍数的时候是1，其他为-1