Question

3道高一立体几何证明题

17.如图所示，四棱锥P-ABCD的底部为一直角梯形，BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD，E为PC的中点.
（1）证明：EB‖平面PAD;（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC.
18.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC=3，BC=4，AB=5，AA,=4，点D为AB的中点。
（1）求证：AC⊥BC,；（2）求证：AC,‖平面CDB,;
19.如图，在□OABC中，点C(1,3).
（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程。

Answer 1

17、(1)  N为PD中点，作辅助线EN、AN

       EN=MD=BA且平行，不难看出四边形ABEN不仅为平行四边形，而且是矩形。

    BE‖AN ， 所以BE‖平面PAD。

    (2)   PA=AD,PA⊥AD,所以△PAD为等腰直角三角形，故 AN⊥PD

       由CD⊥PA，CD⊥AD推出CD⊥平面PAD，故CD⊥AN

       由AN⊥PD  AN⊥CD 推出 AN⊥平面PDC，

       又因为 BE是AN的平行线，故BE⊥平面PDC 。

18、(1)  由勾股定理， AC²+BC²=AB²  可知△ABC为直角三角形，且AC⊥BC。

    因为是直三棱柱，有AC⊥CC1 

       所以AC⊥平面BCC1B1  ，BC1为该平面内一直线，故 AC⊥BC1  。

    (2)  作辅助线PA、PD、PB1  ，（P为CD延长线上一点，且PD=DC）

    不难看出四边形APBC、四边形APB1C1都是矩形。 

    ∵ AC1‖PB1  ，且PB1为平面CDB1内一直线

    ∴ AC1‖平面CDB1  。

19、(1） OC斜率：3/1 = 3

     （2）OC斜率为3，那么CD斜率就是 -1/3

       CD所在直线的方程：y-3 = (-1/3)(x-1)

       简化：x+3y-10=0