Question

一道数学问题请高手求解

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4的点，且位于x轴上方的点，A到抛物线的准线的距离等于5，过A点做AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
（1）求抛物线的方程：
（2）过M点作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标：
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m,0)是x轴上一动点时，讨论AK与⊙M的位置关系

Answer 1

用A到准线的距离可求得准线方程x=4-5,即x=-1，又y^2=2px准线为x=-p/2，得-p/2=-1,p=2。
所以第一问，y^2=4x。
由于A在抛物线上，所以A（4,4）；所以B（0,4）；所以M（0,2）；
又F（1，0），所以可得AF：y=4/3x-4/3。设N（x，y），N在AF上，得：
y＝4/3x-4/3。又向量MN垂直于向量AN，所以（x，y-2）×（x-4，y-4）＝0，即x（x-4）＋（y－2）（y-4）＝0。联立解得x＝8/5,y=4/5(4舍去)。
过A作圆M的两切线，为y=4和y-4=4/3(x-4),前者与x轴无交点，后者交于点（1,0），因此：
当x<1时，相交；当x>1时相离；当x＝1时相切。

Answer 2

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