Question

顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得弦长为根号15，求抛物线方程

Answer 1

设抛物线方程为y^2=2px ，直线y=2x+1与抛物线交于点A（x1,y1）和点B(x2,y2)
则根据题意，|AB|=√15
把y=2x+1代入y^2=2px ，得(2x+1)^2=2px
整理得4x^2+(4-2p)x+1=0
由韦达定理得x1+x2= - (4-2p)/4 = (2p-4)/4 x1*x2=1/4
由弦长公式得|AB|=√(1+k^2)* √[(x1+x2)^2-4x1*x2]= √15
解得p=6或者p=-2
所以抛物线方程为y^2=12x或者y^2=-4x

Answer 2

你好！
把方程设为y²=ax
联立方程：y²=ax, y=2x+1
得：4x²+(4-a)x+1=0
所以x1+x2=(a-4)/4 x1*x2=1/4
所以(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=(a-4)²/16-1=(a²-8a)/16
由弦长公式，l²=(1+k²)(x1-x2)²=(1+2²)(a²-8a)/16=15
即a²-8a-48=0
即(a+4)(a-12)=0
解得a=-4或12
代入方程得：y²=-4x或y²=12x

或：设抛物线方程为：y²=2px，A（x1，y1），B（x2，y2），∴|AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=（x1-x2）²+[(2x

1+1)-(2x2+1)]²=(x1-x2)²+4(x1-x2)²=5(x1-x2)²=(根号15)²=15

∴(x1-x2)²=3 ①，将直线方程y=2x+1代入抛物线方程有：(2x+1)²=2px，即4x²+(4-2p)x+1=0，

依题意x1、x2是其两个不等实根，∴△=(4-2p)²-16＞0，即p²-4p＞0，∴p＞4或p＜0。

同时根据韦达定理有：x1+x2=(2p-4)/4=p/2-1，x1x2=1/4，

∴(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=(p/2-1)²-1=p²/4-p，

∴p²/4-p=3，即p²-4p-12=0，即(p+2)(p-6)=0，∴p=-2或p=6，

∴抛物线的方程为：y²=-4x或y²=12x
祝新春快乐！

Answer 3

解，设焦点在x轴上抛物线为y平方=2px
直线y=2x+1与抛物线交于点A（x1,y1）和点B(x2,y2)
因y=2x+1的斜率为2，弦长为√15,
则AB的x差=√3，由弦长公式得|AB|=√(1+k^2)* √[(x1+x2)^2-4x1*x2]= √15
则p=6或p=-2
所以可得y^2=12x或者y^2=-4x

Answer 4

抛物线方程为y^2=2px ，直线y=2x+1与抛物线交于点A（x1,y1）和点B(x2,y2)
则根据题意，|AB|=√15
把y=2x+1代入y^2=2px ，得(2x+1)^2=2px
得4x^2+(4-2p)x+1=0
x1+x2= - (4-2p)/4 = (2p-4)/4 x1*x2=1/4
|AB|=√(1+k^2)* √[(x1+x2)^2-4x1*x2]= √15
解得p=6或者p=-2
方程为y^2=12x或者y^2=-4x