Question

问一道数学题 请高手解答，谢谢！

在三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在BC边上，AD平分∠CAB，E为AC边上的一个动点，不与A、C重重合，EF⊥AB，垂足为F，
（1）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式。
（2）当∠DEF=90°时，求BF的长。

Answer 1

(1)
∵|AC|=6,|CE|=x
∴|AE|=6-x
∵∠C=90°,∠B=30°
∴∠CAB=60°,|AB|=2|AC|=12,|BC|=6√3
又EF⊥AB，即∠EFA=90°
∴∠AEF=30°
∴|AF|=|AE|/2=(6-x)/2
又|AF|=12-y
∴12-y=(6-x)/2
整理得：y=x/2+9

(2)
∵∠DEF=90°
∴∠CED=180°-90°-∠AEF =60°
∴x=|CE|=|CD|/√3
∵AD平分∠CAB
∴∠DAB=∠B=30°
又|AB|=12
∴|BD|=4√3
∴x=|CE|=|CD|/√3=(|BC|-|BD|)/√3=(6√3-4√3) /√3=2
∴|BF|=y= x/2+9=10

Answer 2

(1)容易证明⊿AFE中∠AEF=∠B=30º（这两个角的边互相垂直）
设CE=X，则AE=6-X。∴AF=1/2*AE=(6-X)/2
AB=2*AC=12 (直角三角形中，斜边是30度角边的2倍)，
得Y=BF=AB-AF=12-(6-X)/2=9+X/2 ( 0<X<6)
(2)CD=6*tan30
则CE=CD*tan30=6*(tan30)^2=2
∴此时BF=9+X/2=9+1=10.
完毕。

Answer 3

（1）解：如图（图略）
由图形得：AF+BF=AB=12;
AF=AE/2;
AE=AC-CE=6-x；
又BF=y；
则：
y+(6-x)/2=12;
y关于x的函数解析式为：
y=9+x/2
答：
y关于x的函数解析式为：
y=9+x/2 ( 0<X<6)
（2）解：当∠DEF=90°时，
DE平行于AB，
则CE=AC/2=3，
BF的长度为：y=9+3/2=21/2
答：当∠DEF=90°时BF长21/2