Question

(2010课标全国卷)设F1、F2是椭圆E：x2/a2+y2/b2=1，（a>b>0）的左右焦点，过F1斜率为1的直线l与E交于A，B

(2010课标全国卷)设F1、F2是椭圆E：x2/a2+y2/b2=1，（a>b>0）的左右焦点，过F1斜率为1的直线l与E交于A，B两点且AF2,AB,BF1成等差数列。
（1） 求l的离心率
（2） 求点P（0，-1）满足PA=PB,求E的方程

Answer 1

F1B|+|F2B|=2a |F1A|+|F2B|=2a
所以|AF2|+|AB|+|BF2|=|F1B|+|F2B|+|F1A|+|F2A|=4a
依题目的2|AB|=|AF2|+|BF2|
所以|AB|=4a/3
设l:y=x+c A(x1,y1) B(x2,y2)
与:(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1联立得（a^2+b^2)x^2+2a^2cx+a^2(c^2-b^2)
所以x1+x2=-(2a^2c)/ (a^2+b^2) x1x2=a^2(c^2-b^2)/a^2+b^2
所以|AB|=√(1+k^2) |x1-x2|=√2 √(x1+x2)^2-4x1x2=4ab^2/(a^2+b^2)
又因为|AB|=4a/3
所以4a/3=4ab^2/(a^2+b^2)
所以4a^3+4ab^2=12ab^2即a^2=2b^2
所以e^2=(c^2)/(a^2)=(a^2-b^2)/a^2=1/2
所以e=(√2)/2

Answer 2

设A(x1,y1),B(x2,y2),左焦点(-c,0)
则直线l：y=x+c
由题意得
|AF2|+|BF2|=2|AB|
∵ |AF1|+|AF2|=2a........①
|BF1|+|BF2|=2a..........②
①+②得
(|AF1|+|BF1|)+(|AF2|+|BF2|)=4a
即|AB|+2|AB|=4a
|AB|=4a/3
根据焦半径公式有
|AF1|=a+ex1
|BF1|=a+ex2
∴|AB|=|AF1|+|BF1|=2a+e(x1+x2)=4a/3
∴e(x1+x2)=-2a/3
联立椭圆和直线
y=x+c
x²/a² + y²/b² =1，得
(a²+b²)x²+2a²c+a²c²-a²b²=0
把b²=a²-c²代入，得
(2a²-c²)x²+2a²cx+(2c²-a²)a²=0
∴e(x1+x2)=e[-2a²c/(2a²-c²)]=-2a/3
e(ac)/(2a²-c²)=1/3 (左右约去-2a)
e(c/a)/[2-(c/a)²]=1/3 (上下同时除以a²)
e²/(2-e²)=1/3
e=√2/2

2.
PA=PB
即(x1+1)²+y1²=(x2+1)²+y2²
(x1+1)²-(x2+1)²+y1²-y2²=0
(x1-x2)(x1+x2+2) + (y1-y2)(y1+y2)=0
(x1-x2)(x1+x2+2) + [(x1+c)-(x2+c)][(x1+c)+(x2+c)]=0 (把y=x+c代入)
(x1-x2)(x1+x2+2) + (x1-x2)(x1+x2+2c)=0
(x1-x2)[2(x1+x2)+2+2c]=0
∵x1≠x2，即x1-x2≠0
∴2(x1+x2)+2+2c=0
∴x1+x2+1+c=0
即
[-2a²c/(2a²-c²)]+1+c=0
∵e=c/a=√2/2，即a²=2c²
代入上式，得
c=3
∴a=3√2，a²=18，b²=9
椭圆方程为x²/18+y²/9=1

Answer 3

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