Question

已知函数f(x)=lg(-x+根号下(x的平方+1)

(1).求函数的定义域.
(2).求证f(-x)=-f(x)
(3).证明f(x)是减函数

Answer 1

1．定义域：-x+根号（x^2+1)>=0
由于根号（x^2+1)>根号（x^2)=|x|
所以，－X＋根号（x^2+1)恒大于0.
所以函数定义域是R.
2.
F(-x) + F(x)=lg(-x+√（x²+1）)+ lg(x+√（x²+1）)

=lg[(-x+√（x²+1）)(x+√（x²+1）)]
=lg[(√（x²+1)-x)(√（x²+1)+x)]……真数运用平方差公式可得下面的式子
=lg[（x²+1）- x²]=lg1=0,
即F(-x) =- F(x)
所以函数是奇函数。
3.
取x1<x2
f(x2)-f(x1)
=[-x2+根号（x2平方+1）]-[-x1+根号（x1平方+1）]
=(x1-x2)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
=(x1-x2)+[(x2^2+1)-(x1^2+1)]/[根号(x1^2+1)+根号(x2^2+1)]
=(x1-x2)+(x2+x1)(x2-x1)/[同上〕
＝(x1-x2)[1-(x2+x1)/(同上）〕
由于(x2+x1)/[根号（x1^2+1)+根号（x2^2+1)]<1, x1-x2<0
故f(x2)-f(x1)<0
∴f(x2)<f(x1)
∴f(x)在R上为单调减函数