Question

设函数f(x)在【a，b】上连续且单调增加，求证∫[a , b] xf(x)dx >=a+b/2∫[a , b] f(x)dx

Answer 1

记：g(x)=S[a,x]tf(t)dt-[(a+x)/2]S[a,x]f(t)dt,a<=t<=x,g'(x)=xf(x)-(1/2)[S[a,x]f(t)dt+f(x)(a+x)]=(1/2)[f(x)(x-a)-S[a,x]f(t)dt]=(1/2)S[a,x][f(x)-f(t)]dt>=0,（其中f(x)单增）可得g(x)在x>=a上单调不减，于是g(x)>=g(a)=0，取x=b则原命题得证。